Las derivadas son una de las herramientas fundamentales del cálculo diferencial y aparecen en numerosos problemas de Matemáticas, Física, Economía, Ingeniería y otras disciplinas. Aprender a resolverlas requiere conocer las reglas básicas de derivación y, sobre todo, practicar con funciones de diferentes tipos.
En esta guía encontrarás 100 derivadas resueltas, organizadas progresivamente para que puedas repasar desde los ejercicios más sencillos hasta funciones que requieren utilizar la regla del producto, la regla del cociente o la regla de la cadena.
La idea no es únicamente consultar el resultado final. En cada ejercicio se indica la regla utilizada para que puedas comprender cómo se calcula la derivada.
¿Qué es una derivada?
La derivada de una función mide cómo cambia su valor cuando cambia la variable independiente.
Si tenemos una función:
f(x)
su derivada se representa normalmente como:
f'(x)
Por ejemplo:
f(x) = x²
Aplicando la regla de la potencia:
f'(x) = 2x
Las derivadas también pueden interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a una curva en un determinado punto.
Reglas básicas para calcular derivadas
Antes de comenzar con los ejercicios, conviene recordar algunas de las reglas más utilizadas.
Derivada de una constante
Si:
f(x) = c
entonces:
f'(x) = 0
Por ejemplo:
f(x) = 8 → f'(x) = 0
Derivada de x
f(x) = x
por tanto:
f'(x) = 1
Regla de la potencia
Si:
f(x) = xⁿ
entonces:
f'(x) = n·xⁿ⁻¹
Por ejemplo:
f(x) = x⁵
f'(x) = 5x⁴
Derivada de una suma
La derivada de una suma se obtiene derivando cada término por separado.
f(x) = x³ + x²
f'(x) = 3x² + 2x
Regla del producto
Si tenemos:
f(x) = u(x)·v(x)
entonces:
f'(x) = u’v + uv’
Regla del cociente
Si:
f(x) = u/v
entonces:
f'(x) = (u’v – uv’)/v²
Regla de la cadena
Cuando tenemos una función dentro de otra:
f(x) = g(h(x))
debemos multiplicar la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior.
100 derivadas resueltas
Derivadas básicas y polinómicas
1. Derivar una constante
f(x) = 7
Como la derivada de cualquier constante es cero:
f'(x) = 0
2. Derivar x
f(x) = x
f'(x) = 1
3. Derivar 5x
f(x) = 5x
Aplicamos la regla de la potencia:
f'(x) = 5
4. Derivar x²
f(x) = x²
f'(x) = 2x
5. Derivar x³
f(x) = x³
f'(x) = 3x²
6. Derivar x⁵
f(x) = x⁵
f'(x) = 5x⁴
7. Derivar 3x⁴
f(x) = 3x⁴
f'(x) = 12x³
8. Derivar 7x⁶
f(x) = 7x⁶
f'(x) = 42x⁵
9. Derivar x⁷ – 3x²
Derivamos término a término:
f'(x) = 7x⁶ – 6x
10. Derivar 4x³ + 2x² – 5x + 8
f'(x) = 12x² + 4x – 5
La constante 8 desaparece porque su derivada es cero.
11. Derivar x⁴ + x³ + x² + x + 1
f'(x) = 4x³ + 3x² + 2x + 1
12. Derivar 5x⁴ – 3x³ + 7x² – 2x
f'(x) = 20x³ – 9x² + 14x – 2
13. Derivar 2x⁵ + 4x³ – 6
f'(x) = 10x⁴ + 12x²
14. Derivar 9x⁶ – 4x⁴ + x²
f'(x) = 54x⁵ – 16x³ + 2x
15. Derivar 3x⁸ + 2x⁵ – 7x
f'(x) = 24x⁷ + 10x⁴ – 7
16. Derivar x⁹
f'(x) = 9x⁸
17. Derivar 10x³ – 5x² + 4
f'(x) = 30x² – 10x
18. Derivar 6x⁵ – 8x³ + 2x – 1
f'(x) = 30x⁴ – 24x² + 2
19. Derivar 12x⁴ + 5x² – 9
f'(x) = 48x³ + 10x
20. Derivar 4x⁷ – 3x⁵ + 2x³ – x
f'(x) = 28x⁶ – 15x⁴ + 6x² – 1
Derivadas con raíces y potencias fraccionarias
Para trabajar con raíces resulta útil transformarlas en potencias.
Por ejemplo:
√x = x¹ᐟ²
21. Derivar √x
f(x) = x¹ᐟ²
Aplicamos la regla de la potencia:
f'(x) = ½x⁻¹ᐟ²
Por tanto:
f'(x) = 1/(2√x)
22. Derivar ∛x
f(x) = x¹ᐟ³
f'(x) = ⅓x⁻²ᐟ³
23. Derivar √(x³)
Escribimos:
f(x) = x³ᐟ²
Entonces:
f'(x) = 3/2 x¹ᐟ²
24. Derivar 5√x
f'(x) = 5/(2√x)
25. Derivar 2x¹ᐟ² + 3x
f'(x) = x⁻¹ᐟ² + 3
26. Derivar 1/x
Escribimos:
f(x) = x⁻¹
Por tanto:
f'(x) = -x⁻²
o:
f'(x) = -1/x²
27. Derivar 1/x³
f(x) = x⁻³
f'(x) = -3x⁻⁴
28. Derivar 4/x²
f(x) = 4x⁻²
f'(x) = -8x⁻³
29. Derivar x² + √x
f'(x) = 2x + 1/(2√x)
30. Derivar 3/x + 2√x
f'(x) = -3/x² + 1/√x
Derivadas trigonométricas
Las derivadas trigonométricas básicas que más se utilizan son:
(sen x)’ = cos x
(cos x)’ = -sen x
(tan x)’ = sec² x
31. Derivar sen x
f(x) = sen x
f'(x) = cos x
32. Derivar cos x
f(x) = cos x
f'(x) = -sen x
33. Derivar tan x
f(x) = tan x
f'(x) = sec² x
34. Derivar 4sen x
f'(x) = 4cos x
35. Derivar 3cos x
f'(x) = -3sen x
36. Derivar 5tan x
f'(x) = 5sec²x
37. Derivar x² + sen x
f'(x) = 2x + cos x
38. Derivar x³ – cos x
f'(x) = 3x² + sen x
39. Derivar 2x + 4sen x – cos x
f'(x) = 2 + 4cos x + sen x
40. Derivar x²cos x
Aplicamos la regla del producto:
f'(x) = 2x cos x – x² sen x
Derivadas mediante la regla del producto
La regla del producto es:
(uv)’ = u’v + uv’
41. Derivar (x + 1)(x + 2)
Tomamos:
u = x + 1
v = x + 2
Entonces:
u’ = 1
v’ = 1
Por tanto:
f'(x) = (x + 2) + (x + 1)
f'(x) = 2x + 3
42. Derivar (2x + 1)(3x – 2)
f'(x) = 2(3x – 2) + 3(2x + 1)
f'(x) = 12x – 1
43. Derivar x²sen x
f'(x) = 2xsen x + x²cos x
44. Derivar x³cos x
f'(x) = 3x²cos x – x³sen x
45. Derivar x·eˣ
f'(x) = eˣ + xeˣ
También puede escribirse:
f'(x) = eˣ(x + 1)
46. Derivar (x² + 1)sen x
f'(x) = 2xsen x + (x² + 1)cos x
47. Derivar (x³ – 2x)cos x
f'(x) = (3x² – 2)cos x – (x³ – 2x)sen x
48. Derivar (2x + 3)eˣ
f'(x) = 2eˣ + (2x + 3)eˣ
f'(x) = (2x + 5)eˣ
49. Derivar x²ln x
f'(x) = 2xln x + x
50. Derivar √x·cos x
f'(x) = cos x/(2√x) – √xsen x
Derivadas mediante la regla del cociente
La regla del cociente es:
(u/v)’ = (u’v – uv’)/v²
51. Derivar 1/(x + 1)
f'(x) = -1/(x + 1)²
52. Derivar x/(x + 1)
Aplicamos la regla del cociente:
f'(x) = [(1)(x + 1) – x(1)]/(x + 1)²
Por tanto:
f'(x) = 1/(x + 1)²
53. Derivar (x² + 1)/x
Simplificando antes:
f(x) = x + 1/x
Entonces:
f'(x) = 1 – 1/x²
54. Derivar (x + 2)/(x – 1)
f'(x) = [(x – 1) – (x + 2)]/(x – 1)²
f'(x) = -3/(x – 1)²
55. Derivar (2x + 1)/(x + 3)
f'(x) = [2(x + 3) – (2x + 1)]/(x + 3)²
f'(x) = 5/(x + 3)²
56. Derivar sen x/x
f'(x) = (xcos x – sen x)/x²
57. Derivar cos x/x
f'(x) = (-xsen x – cos x)/x²
58. Derivar eˣ/x
f'(x) = (xeˣ – eˣ)/x²
f'(x) = eˣ(x – 1)/x²
59. Derivar ln x/x
f'(x) = (1 – ln x)/x²
60. Derivar x²/(x + 1)
f'(x) = [2x(x + 1) – x²]/(x + 1)²
f'(x) = x(x + 2)/(x + 1)²
Derivadas con regla de la cadena
La regla de la cadena permite derivar funciones compuestas.
Si:
f(x) = [g(x)]ⁿ
entonces:
f'(x) = n[g(x)]ⁿ⁻¹g'(x)
61. Derivar (x + 1)²
f'(x) = 2(x + 1)
62. Derivar (x + 2)⁵
f'(x) = 5(x + 2)⁴
63. Derivar (2x + 1)³
f'(x) = 6(2x + 1)²
64. Derivar (3x – 2)⁴
f'(x) = 12(3x – 2)³
65. Derivar (x² + 1)⁵
f'(x) = 10x(x² + 1)⁴
66. Derivar (x³ – 2x)⁴
f'(x) = 4(x³ – 2x)³(3x² – 2)
67. Derivar √(x² + 1)
Escribimos:
f(x) = (x² + 1)¹ᐟ²
Por la regla de la cadena:
f'(x) = x/√(x² + 1)
68. Derivar sen(2x)
f'(x) = 2cos(2x)
69. Derivar cos(3x)
f'(x) = -3sen(3x)
70. Derivar tan(5x)
f'(x) = 5sec²(5x)
Derivadas exponenciales
71. Derivar eˣ
f'(x) = eˣ
72. Derivar 5eˣ
f'(x) = 5eˣ
73. Derivar e²ˣ
Aplicamos la regla de la cadena:
f'(x) = 2e²ˣ
74. Derivar e^(x²)
f'(x) = 2xe^(x²)
75. Derivar e^(3x + 1)
f'(x) = 3e^(3x + 1)
76. Derivar 2ˣ
Para una exponencial de base distinta de e:
(aˣ)’ = aˣln(a)
Por tanto:
f'(x) = 2ˣln 2
77. Derivar 3^(2x)
f'(x) = 2·3^(2x)ln 3
78. Derivar x²eˣ
Aplicamos la regla del producto:
f'(x) = 2xeˣ + x²eˣ
f'(x) = eˣ(x² + 2x)
Derivadas logarítmicas
79. Derivar ln x
f'(x) = 1/x
80. Derivar ln(x² + 1)
Aplicamos la regla de la cadena:
f'(x) = 2x/(x² + 1)
81. Derivar ln(3x + 2)
f'(x) = 3/(3x + 2)
82. Derivar ln(x³)
Para x > 0:
f'(x) = 3/x
83. Derivar log₁₀x
La derivada es:
f'(x) = 1/(xln10)
84. Derivar ln(√x)
Podemos escribir:
ln(√x) = ½ln x
Por tanto:
f'(x) = 1/(2x)
Derivadas trigonométricas más avanzadas
85. Derivar sen(x²)
Aplicamos la regla de la cadena:
f'(x) = 2xcos(x²)
86. Derivar cos(x² + 1)
f'(x) = -2xsen(x² + 1)
87. Derivar tan(x³)
f'(x) = 3x²sec²(x³)
88. Derivar sen(3x²)
f'(x) = 6xcos(3x²)
89. Derivar cos(2x³)
f'(x) = -6x²sen(2x³)
90. Derivar sen²x
Interpretamos la función como:
f(x) = (sen x)²
Aplicamos la regla de la cadena:
f'(x) = 2sen x cos x
También puede expresarse como:
f'(x) = sen(2x)
Derivadas combinadas
91. Derivar (x² + 1)³
Aplicamos la regla de la cadena:
f'(x) = 6x(x² + 1)²
92. Derivar (2x² – 3x + 1)⁵
La derivada de la función interior es:
4x – 3
Por tanto:
f'(x) = 5(2x² – 3x + 1)⁴(4x – 3)
93. Derivar e^(x² + 3x)
La derivada de la función interior es:
2x + 3
Por tanto:
f'(x) = (2x + 3)e^(x² + 3x)
94. Derivar ln(x² + 3x + 2)
f'(x) = (2x + 3)/(x² + 3x + 2)
95. Derivar x²sen(3x)
Aplicamos producto y cadena:
f'(x) = 2xsen(3x) + 3x²cos(3x)
96. Derivar eˣcos x
Aplicamos la regla del producto:
f'(x) = eˣcos x – eˣsen x
Por tanto:
f'(x) = eˣ(cos x – sen x)
97. Derivar x³ln(x)
Aplicamos la regla del producto:
f'(x) = 3x²ln x + x²
98. Derivar (x² + 1)/(x² – 1)
Aplicamos la regla del cociente:
f'(x) = [2x(x² – 1) – 2x(x² + 1)]/(x² – 1)²
Simplificando:
f'(x) = -4x/(x² – 1)²
99. Derivar √(x² + 4x + 5)
Escribimos la función como:
f(x) = (x² + 4x + 5)¹ᐟ²
Aplicamos la regla de la cadena:
f'(x) = (x + 2)/√(x² + 4x + 5)
100. Derivar e^(x²)sen x
Tenemos un producto de dos funciones:
u = e^(x²)
v = sen x
La derivada de la primera es:
u’ = 2xe^(x²)
La derivada de la segunda es:
v’ = cos x
Aplicando la regla del producto:
f'(x) = 2xe^(x²)sen x + e^(x²)cos x
Podemos sacar factor común:
f'(x) = e^(x²)[2xsen x + cos x]
Tabla rápida de las principales reglas de derivación
| Función | Derivada |
|---|---|
| c | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ |
| √x | 1/(2√x) |
| 1/x | -1/x² |
| sen x | cos x |
| cos x | -sen x |
| tan x | sec²x |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ ln a |
| ln x | 1/x |
| logₐx | 1/(x ln a) |
¿Cómo saber qué regla de derivación utilizar?
Una de las principales dificultades al empezar a estudiar derivadas no es realizar las operaciones, sino identificar qué regla hay que aplicar.
Una forma sencilla de hacerlo es observar la estructura de la función.
Si únicamente aparecen sumas y potencias, normalmente basta con derivar término a término.
Si aparecen dos funciones multiplicándose, hay que pensar en la regla del producto.
Si una función aparece dividida entre otra, puede ser necesario utilizar la regla del cociente, aunque en ocasiones resulta más sencillo transformar la expresión utilizando potencias.
Si existe una función dentro de otra, como:
(x² + 1)⁵
o:
sen(x²)
la herramienta principal es la regla de la cadena.
Consejos para aprender a derivar
Resolver muchos ejercicios es una de las mejores formas de aprender, pero conviene hacerlo siguiendo un método.
Primero identifica la estructura de la función. Después escribe la regla que vas a utilizar y, finalmente, realiza la derivación paso a paso.
También es recomendable intentar resolver el ejercicio antes de consultar la solución.
Las recopilaciones de ejercicios de derivadas disponibles en línea suelen organizar los problemas por técnicas como potencias, sumas, productos, cocientes y regla de la cadena.
Preguntas frecuentes sobre derivadas
¿Qué son las derivadas?
Son herramientas matemáticas que permiten estudiar la tasa de cambio de una función respecto de una variable.
¿Cuál es la derivada de una constante?
La derivada de cualquier constante es cero.
¿Cuál es la derivada de x²?
La derivada de x² es 2x.
¿Cuál es la derivada de sen x?
Es cos x.
¿Cuál es la derivada de cos x?
Es -sen x.
¿Cuándo se utiliza la regla de la cadena?
Se utiliza principalmente cuando una función está compuesta por otra función, como en (x² + 1)³, sen(x²) o e^(3x).
¿Cuándo se utiliza la regla del producto?
Cuando dos funciones están multiplicándose, por ejemplo:
f(x) = x²sen x
¿Cuándo se utiliza la regla del cociente?
Cuando una función está dividida entre otra y no resulta conveniente simplificar previamente la expresión.
¿Es necesario memorizar todas las derivadas?
No es necesario memorizar cientos de ejercicios. Lo fundamental es conocer las reglas básicas y saber identificar qué procedimiento corresponde a cada función.
Conclusión
Estas 100 derivadas resueltas permiten practicar las principales técnicas de derivación: potencias, polinomios, raíces, funciones trigonométricas, productos, cocientes, exponenciales, logaritmos y funciones compuestas.
La clave para dominar las derivadas no consiste en aprender de memoria los 100 resultados, sino en reconocer la estructura de cada función y aplicar correctamente la regla correspondiente.
Una vez dominadas las reglas básicas, ejercicios que inicialmente parecen complicados pueden resolverse dividiendo el problema en operaciones más sencillas. Esa es precisamente la ventaja de trabajar con una colección amplia de ejercicios de derivadas resueltos: permite reconocer patrones y ganar soltura antes de enfrentarse a problemas más complejos.
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